Una peonza metálica de unos 20 gramos de peso, con un imán en su interior, levita a unos 3 cm de altura sobre una plataforma negra de plástico que contiene un imán permanente de forma toroidal. La peonza gira durante unos minutos hasta que la resistencia del aire hace que su velocidad se reduzca por debajo de cierto valor crítico provocando que la peonza caiga en la plataforma. Roy Harrigan patentó este juguete en 1983, pero fue criticado por muchos físicos porque el teorema de Earnshaw (1842) afirma que un campo magnético estático dipolar no puede hacer levitar de forma estable un objeto. No logró comerciarlizarlo hasta 1993, cuando Bill Hones de la empresa Fascinations descubrió su patente.
Como suele pasar a veces, por desgracia para muchos inventores, el juguete no tuvo el éxito esperado hasta que el propio Hones patentó una variante en 1994, que utiliza una base cuadrada, que comercializó en 1995 como Levitron (por su empresa Fascinations, claro); según reza en la nueva patente, la versión original de Harrigan, que utiliza una base circular, no funciona bien (Hones apoya su afirmación en los físicos que criticaron a Harrigan). Obviamente, el cambio de base circular a base cuadrada es una soberana tontería y las leyes físicas afirman que ambas versiones funcionan igual de bien (o igual de mal). Pero lo cierto es que las leyes de la propiedad industrial son así, si se permite una nueva patente de lo mismo es porque es “distinto” (en opinión de la Oficina de Patentes). Por ello, la recomendación oficial para quien patente algo nuevo es que primero busque quien se lo vaya a comercializar y que sea alguien de “confianza,” no le vaya a pasar lo mismo que al pobre Harrigan.
La explicación física de por qué funciona el Levitron se publicó en el ahora muy famoso artículo de Michael V. Berry, “The Levitron: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society of London A 452: 1207-1220, 1996 [copia gratis; otra]. Hace ya unos años, yo leí (en papel) la explicación en la revista American Journal of Physics, en concreto en Martin D. Simon, Lee O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” Am. J. Phys. 65: 286-292, 1997 [copia gratis]. También se puede consultar Thomas B. Jones, Masao Washizu, Roger Gans, “Simple theory for the Levitron,” J. Appl. Phys. 82: 883-888, 1997 [copia gratis], y Roger F Gans, Thomas B Jones, Masao Washizu, “Dynamics of the Levitron,” J. Phys. D: Appl. Phys. 31: 671–679, 1998 [copia gratis]; así como a Holger R. Dullin, Robert W. Easton, “Stability of Levitrons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 126: 1–17, 1999 [copia gratis]. Pero en esta entrada yo me basaré en el artículo de Shahar Gov, Shmuel Shtrikman, “How High Can The U-CAS Fly?,” arXiv:physics/9902002, 31 Jan 1999; este artículo tiene la ventaja de que puedo extraer las fórmulas del fichero .tex sin necesidad de tener que volverlas a teclear (que en wordpress.com siempre es un suplicio). Porque has leído bien, lo siento, pero esta entrada tiene fórmulas matemáticas.
El principio de funcionamiento del Levitron se basa en la “aproximación adiabática,” por ello es ideal para ilustrarla en cursos de física (como el que yo impartí hace unos años sobre “Bifurcaciones, dinámica no lineal y caos”). Al poner a girar la peonza encima de la plataforma su momento magnético apunta en una dirección antiparalela a la magnetización de la base con lo que aparece una fuerza magnética repulsiva que actúa en contra de la gravedad. La peonza ha de ser rápida, su velocidad de rotación debe ser mayor que su velocidad de precesión (
donde las derivadas se evalúan en el punto de equilibrio de la peonza, dado por la expresión
Conviene destacar que la estabilidad de la peonza no depende de la intensidad del campo magnético sino de su geometría. Por ello conviene que la peonza tenga un imán toroidal en su interior en lugar de uno en forma de disco, ya que así se puede incrementar su altura de levitación.
Obviamente, para continuar con los cálculos tenemos que especificar el campo magnético y cómo depende de la magnetización de la base. Centrándonos en la componente vertical de la fuerza, podemos escribir con un error pequeño que
donde podemos escribir (en la aproximación adiabática)
donde los ángulos corresponden a la figura de más arriba, 
Como resultado, la altura de levitación es 
Hay que recordar que en esta expresión de la altura de levitación se está suponiendo que la peonza no puede moverse lateralmente y la aproximación adiabática. Con cálculos similares se puede demostrar que 
Generar un campo magnético uniforme en la base es mucho más fácil, pero reduce la altura de levitación. Repitiendo los cálculos para 
con lo que la altura de levitación se reduce a 
Como siempre, el objetivo de estas entradas de física y matemáticas es incentivar a los profesores para que las usen como ilustración a sus alumnos de problemas no triviales pero curiosos. Espero que quienes recojan el guante disfruten y hagan disfrutar.
Esta entrada surgió a partir de mi entrada “Cómo conseguir que no pare de girar la peonza de la película “Origen” (“Inception”),” 28 julio 2012. Alguien comentó que por qué no se incluía una formulación matemática del problema…
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