El análisis funcional y la estabilidad de la materia

El lector sabe que dos litros de gasolina tienen el doble de energía que un litro; en termodinámica se dice que la energía es una magnitud extensiva. Demostrarlo parece fácil, pero no lo es. La solución de este problema, el problema de la estabilidad de la materia, requiere el uso de poderosas herramientas de análisis funcional, como mostró Elliott H. Lieb (quien el pasado 31 de julio cumplió 80 años). El problema matemático a resolver consiste en demostrar que la energía de un sistema de N partículas en interacción mutua (dos a dos) cumple que el límite E(N)/N es constante para N→∞. Quizás mucha gente piense que este problema tiene una solución sencilla, pero la demostración de Freeman Dyson y Andrew Lenard [1,2] era complicada en extremo, casi imposible de entender para un físico; gracias al trabajo de Elliott Lieb y Walter Thirring [3] las ideas físicas subyacentes vieron la luz, pero guiadas por el lenguaje del análisis funcional (que los físicos ya conocían gracias a que John von Neumann lo utilizó en sus fundamentos matemáticos de la física cuántica). Estoy aprovechando estas fechas navideñas para leer los trabajos originales de Elliott H. Lieb, gracias a su compilación en el libro “The Stability of Matter: From Atoms to Stars,” Edited by W. Thirring, Springer, 1997.

Las estrellas con una masa arbitraria no son estables y colapsan bajo la fuerza de la gravedad. La masa límite para una estrella fría estable se denomina límite de Chandrasekhar. Por ejemplo, para una enana blanca, una estrella estable en la que la presión de degeneración de sus electrones debida al principio de exclusión de Pauli compensa a su gravedad, este límite es de 1,44 masas solares; por encima de este límite la estrella para convertirse en una estrella de neutrones, que también tiene una masa límite, unas 3 masas solares, el llamado límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff. Estos resultados se obtuvieron analizando la estabilidad de la materia en el caso relativista, es decir, la estabilidad de las soluciones del hamiltoniano “relativista”

$H_N=\sum_{i=1}^N\sqrt{p_i^2+m_i^2}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}v(x_i-x_j)$ .

Este hamiltoniano no está acotado por debajo para suficientemente grande, un resultado independiente del potencial v(x) utilizado. Este resultado difiere del obtenido en el caso no relativista (mucho más difícil de estudiar), que permite que la materia sea estable.

El hamiltoniano (no relativista) de un sistema de partículas en interacción a pares viene dado por

$H_N=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m_i}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}v(x_i-x_j)$ .

Como contiene un sumatorio doble, a priori, uno espera que $E(N)\sim{N^2}$ en lugar de $E(N)\sim{N}$ . La única posibilidad de que $\lim_{N\to\infty}E(N)/N$ sea constante es que el potencial v(x) tenga las propiedades adecuadas. L. van Hove (1950) lo demostró usando la mecánica estadística clásica para un potencial de núcleo duro (hard-core), que es infinito por debajo de cierto radio crítico (ver la figura de arriba). Sin embargo, la materia es cuántica y hay que utilizar las leyes de la mecánica estadística cuántica. Para el caso de un potencial gravitatorio, v(x_i-x_j)=-Gm_im_j/|x_i-x_j| , J. M. Lèvy-Leblond (1969) demostró que la materia no es estable ya que para bosones $E(N)\sim{N^3}$ y para fermiones $E(N)\sim{N^{7/3}}$ . Para el caso de un potencial electrostático, v(x_i-x_j)=e_ie_j/|x_i-x_j| , F. J. Dyson y A. Lenard (1967) demostraron que la materia es estable, $E(N)\sim{N}$ , si todas las partículas con el mismo signo de carga eléctrica son fermiones. En caso contrario, si hay bosones con ambos signos de carga eléctrica, demostraron que la materia es inestable con E_N entre los límites $N^{5/3}$ y $N^{7/5}$ . Esta demostración fue simplificada y mejorada por E. H. Lieb y W. Thirring (1968) quienes demostraron que para el hamiltoniano

$H_N=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m_i}+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^{i-1}e_ie_j/|x_i-x_j|$ ,

con $e_i=\pm{e}$ , y $\sum_{i}{e_i}=0$ , el estado cuántico de mínima energía E_N satisface:

(i) Si v(r)=1/r , entonces $E_N\sim{N}$ para fermiones y $E_N\sim{N^{7/5}}$ para bosones.

(ii) Si $v(r)=(1-e^{-\mu{r}})/r$ , entonces $E_N\sim{N}$ tanto para fermiones como bosones.

(ii) Si $v(r)=re^{-\mu{r}}$ , entonces $E_N\sim{N}^2$ tanto para fermiones como bosones.

Este teorema, demostrado mediante técnicas de análisis funcional, nos indica que la estabilidad de la materia es algo excepcional en mecánica estadística cuántica no relativista. Pero aún siendo excepcional, no es imposible como en el caso relativista.

¿Por qué se requiere el uso de herramientas de análisis funcional? Porque las propiedades termodinámicas del sistema se describen mediante relaciones funcionales. La propiedad de que la energía sea una magnitud extensiva equivale a que sea una función homogénea: $f(\lambda{}x)=\lambda\,f(x)$ , con $\lambda\in\mathbf{R}^{n+}$ . La propiedad de que la energía todal de un sistema compuesto de partes sea menor que la suma de la energía de dichas partes por separado equivale a que sea una función subaditiva: $f(x_1+x_2)\le{}f(x_1)+f(x_2)$ . Un famoso teorema de análisis funcional de Landsberg implica que una función que sea homogénea y subaditiva también es convexa: $f(\lambda\,x_1+(1-\lambda)\,x_2)\le\lambda\,f(x_1)+(1-\lambda)\,f(x_2)$ . La convexidad es la clave para la demostración de la estabilidad de la materia en los trabajos de Lieb y sus colegas, por ello, se utilizan técnicas matemáticas de análisis funcional.