La agencia EFE lanzó el viernes la noticia “Un matemático kazajo halla la solución parcial a la ecuación Navier-Stokes,” La Vanguardia, 10 Ene 2014. Mukhtarbay Otelbaev afirma en su artículo “Existence of a strong solution of the Navier-Stokes equations,” publicado en la revista kazaja Mathematical Journal 13: 5-104, 2013 [PDF en ruso; traducción al inglés en curso] que ha resuelto el Problema del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas sobre la regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, famoso por estar dotado con un millón de dólares. Lo siento, no sé ruso, luego no entiendo su razonamiento, pero no me creo su resultado final. ¿Por qué?
Lo primero, ¿por qué habla la noticia de una solución parcial al problema? El Problema del Milenio tiene dos partes o enunciados, la formulación del problema de valores inciales en R3, sin condiciones de contorno, y la formulación del problema de valores iniciales en T3, es decir, con condiciones de contorno periódicas. El enunciado de Otelbaev corresponde a esta última formulación, de ahí que se afirme que es una solución parcial al problema. Más detalles en “Navier–Stokes existence and smoothness,” Wikipedia, y en “Navier-Stokes equation: Official description of the problem,” Clay Math Institute.
Lo segundo, ¿por qué no me creo el resultado de Otelbaev? Porque su resultado está descrito en el espacio de Hilbert L2 (el espacio de las funciones de cuadrado integrable), en lugar de en el espacio crítico de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D, que es L3, o el espacio de Sobolev H1/2. En 2D, el espacio crítico es L2 y el resultado de Otelbaev ya fue demostrado por Jean Leray, “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace,” Acta Mathematica 63: 193-248, 1934 (traducción al inglés en PDF). Sin embargo, en 3D un resultado en L2 no es suficiente para garantizar que la energía no explote (haga blow-up) en tiempo finito; se necesita un resultado en L3. Aunque no entiendo ruso, no veo que el artículo de Otelbaev ataque este problema. Luego no me creo su resultado.
De hecho, el artículo de Otelbaev utiliza herramientas matemáticas de espacios de Hilbert, que todo matemático estudia durante su carrera, herramientas que ya utilizó Leray en 1934 en 3D, aunque él sólo pudo demostrar la existencia de soluciones débiles, dejando abierto el problema de su unicidad (aún no resuelto) y el de las soluciones clásicas (Problema del Milenio). Dichas herramientas han sido muy estudiadas en este contexto en el último siglo y no es razonable que nadie haya sido capaz de resolver con ellas el problema de Navier-Stokes, si fuera posible hacerlo, como afirma a la ligera Otelbaev.
El problema de unicidad y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D requiere, con toda seguridad, el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas. Por ello no me creo que Otelbaev lo haya resuelto con herramientas que todo matemático (en España) estudia durante su carrera.
Si has leído hasta aquí, quizás te preguntes qué es eso del espacio crítico para las ecuaciones de Navier-Stokes. Si ya sabes que en n dimensiones es el espacio de Lebesgue Ln, o el espacio de Sobolev Hn/2-1, no tienes que seguir leyendo. En otro caso, basta sustituir en las ecuaciones de Navier-Stokes para comprobar que toda solución (u(x, t), p(x, t)) permite construir una nueva solución (λ u(λx, λ2t), λ2 p(λx, λ2t)), para una nueva condición inicial λ u0(λx). Se llaman espacios críticos de las ecuaciones de Navier-Stokes a los espacios de funciones que son invariantes ante esta simetría de las soluciones. En 3D, se tiene H1/2 ↪ L3 ↪ … (más información en, por ejemplo, Jean Bourgain, Nataša Pavlovic, “Ill-posedness of the Navier–Stokes equations in a critical space in 3D,” Journal of Functional Analysis 255: 2233–2247, 2008 [PDF gratis], y en el clásico Tosio Kato, “Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equation in Rm , with applications to weak solutions,” Mathematische Zeitschrift 187: 471-480, 1984 [PDF gratis]).
Los espacios críticos son claves en la solución del Problema del Milenio de la ecuación de Navier-Stokes porque hay varios resultados matemáticos que demuestran que en ellos las soluciones débiles pueden alcanzar dimensión de Hausdorff no entera, lo que se asocia a la aparición de la turbulencia. Para muchos expertos, entender la diferencia entre las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en L2 y en L3 es clave para atacar el Problema del Milenio. Sin embargo, Otelbaev parece que olvida lo que se ha aprendido durante el último siglo sobre este asunto y estruja las técnicas ya usadas por Leray en 1934, sin ningún alarde técnico, en apariencia.
Por todo ello, en un primer vistazo del artículo técnico en ruso, idioma que repito que no entiendo, no me creo que Otelbaev haya resuelto el problema de Navier-Stokes.
En este blog recomiendo leer “Gran charla de Diego Córdoba en las jornadas científicas “Los Problemas del Milenio” en Barcelona,” LCMF, 01 Jun 2011; las notas están disponibles gratis en la web en Diego Córdoba Gazolaz, “Las ecuaciones de Navier-Stokes,” Jornadas sobre los Problemas del Milenio, Barcelona, 1-3 Jun 2011 [PDF de las notas; PDF con las transparencias]. Sobre estas jornadas puedes leer “Cursos sobre los problemas del milenio en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011,” LCMF 31 May 2011 [Programa de las Jornadas con PDFs].
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